Σ Ε Ι Σ Μ Ι Κ Η Α Ν Α Τ Ρ Ο Π Η Κ Τ Η Ρ Ι Ω Ν -

Μ Η Γ Ρ Α Μ Μ Ι Κ Η Α Ν Α Λ Υ Σ Η Θ Ε Μ Ε Λ Ι Ω Σ Η Σ

Εισαγωγή

1. Εισαγωγή

Το πρόβλημα της προσομοίωσης της συμπεριφοράς κατασκευών επί ελαστικού

υποβάθρου αποτελεί ειδική περίπτωση μιας πολύ γενικής κατηγορίας προβλημάτων της

θεωρητικής αλλά και της εφαρμοσμένης μηχανικής με τίτλο «προβλήματα αλληλεπίδρασης

μεταξύ παραμορφώσιμων σωμάτων». Η πλήρης επίλυση του προβλήματος αλληλεπίδρασης

δυο εν επαφή παραμορφώσιμων σωμάτων (στην πιο γενική περίπτωση μη ελαστικών)

απαιτεί τον προσδιορισμό των τάσεων και των παραμορφώσεων στο εσωτερικό των

σωμάτων αυτών καθώς και τον προσδιορισμό των μετακινήσεων και των τάσεων σε όλη την

επιφάνεια επαφής. Η περίπτωση της αλληλεπίδρασης εδάφους – θεμελίωσης στην πιο

γενική της μορφή ανήκει στην υποκατηγορία εκείνη, στην οποία εξετάζεται η επαφή ενός

τρισδιάστατου ελαστικού σώματος (έδαφος), του οποίου η συμπεριφορά περιγράφεται με τη

βοήθεια των γενικών εξισώσεων της θεωρίας ελαστικότητας, με ένα άλλο ελαστικό σώμα (π.χ.

δοκός), η συμπεριφορά του οποίου μπορεί να περιγραφεί με τη βοήθεια απλοποιητικών

θεωριών (π.χ. τεχνική θεωρία κάμψης). Πρέπει βέβαια να τονιστεί ιδιαίτερα, ότι το πρόβλημα

αλληλεπίδρασης μεταξύ δυο εν επαφή σωμάτων δεν περιορίζεται αποκλειστικά στην μελέτη

σωμάτων με ελαστική συμπεριφορά. Επίσης, πολύ σημαντική παράμετρο στην μελέτη της

αλληλεπίδρασης εδάφους θεμελίωσης αποτελεί και η θεώρηση μονόπλευρης επαφής μεταξύ

δυο σωμάτων, ελαστικών ή μη ελαστικών.

Με βάση τα παραπάνω, το γενικό πρόβλημα της ανάλυσης κατασκευών επί ελαστικού

υποβάθρου έχει τρία σκέλη:

α. την προσομοίωση του εδάφους ως ελαστικού υποβάθρου,

β. την προσομοίωση της μηχανικής συμπεριφοράς των εδραζόμενων δομικών στοιχείων της

θεμελίωσης, και

γ. τις παραδοχές για την μορφή της αλληλεπίδρασης.

Κάθε ένα από τα παραπάνω τρία σκέλη του προβλήματος απαιτεί ειδικές παραδοχές, έτσι

ώστε το συνολικό πρόβλημα να απεμπλακεί από τις μεγάλες υπολογιστικές δυσκολίες τις οποίες

δημιουργεί η γενική του διατύπωση.

Για το σκέλος (α) το ΡΑΦ έχει υιοθετήσει την πλέον διαδεδομένη στην πράξη προσομοίωση

του ελαστικού υποβάθρου θεμελίωσης με το μοντέλο Winkler (περισσότερες λεπτομέρειες για την

προσέγγιση αυτή δίνονται στην παράγραφο 5.4 του του βασικού εγχειριδίου θεωρητικής

τεκμηρίωσης του ΡΑΦ).

Αντίστοιχα για την προσομοίωση της μηχανικής συμπεριφοράς των στοιχείων θεμελίωσης

(σκέλος (β)) το ΡΑΦ έχει υιοθετήσει για τα ραβδωτά στοιχεία (πεδιλοδοκούς και συνδετήριες

δοκούς) το μοντέλο Timoshenko.

Σ Ε Ι Σ Μ Ι Κ Η Α Ν Α Τ Ρ Ο Π Η Κ Τ Η Ρ Ι Ω Ν -

Μ Η Γ Ρ Α Μ Μ Ι Κ Η Α Ν Α Λ Υ Σ Η Θ Ε Μ Ε Λ Ι Ω Σ Η Σ

Εισαγωγή

Για το σκέλος (γ) υιοθετείται κατά κανόνα η απλοποιητική προσέγγιση – επαρκής και προς την

πλευρά της ασφάλειας σε επίπεδο σχεδιασμού – που στηρίζεται στις ακόλουθες τρείς βασικές

παραδοχές:

 Μικρές εδαφικές παραμορφώσεις: Η παραδοχή αυτή έχει ως αποτέλεσμα να είναι ρεαλιστική

η θεώρηση της ελαστικής συμπεριφοράς του εδάφους. Για το λόγο αυτό προτείνονται πάντα

μεγάλες επιφάνειες έδρασης που οδηγούν σε μείωση των παραμορφώσεων και των τάσεων.

 Λεία και αμφίπλευρη επαφή εδάφους – φορέα θεμελίωσης: Η παραδοχή αυτή έχει ως

αποτέλεσμα την αγνόηση αφενός των δυνάμεων τριβής, και αφετέρου των φαινομένων

αποκόλλησης,

 Στιγμιαία ανάπτυξη των παραμορφώσεων: Με βάση την παραδοχή αυτή γίνεται η θεώρηση

ότι κατά την επιβολή των φορτίων αναπτύσσεται το σύνολο των μετακινήσεων (αποφυγή

χρήσης μοντέλων για την χρονική μεταβλητότητα της εδαφικής συμπεριφοράς).

Οι παραδοχές αυτές καθιστούν το πρόβλημα της προσομοίωσης του συμπλέγματος

εδάφους-θεμελίωσης γενικώς γραμμικό και επομένως κατάλληλο για επίλυση με straight forward

αναλύσεις. Συμβάλλουν δε, στην αποφυγή πολύπλοκων μη γραμμικών μοντέλων

προσομοίωσης της αλληλεπίδρασης τα οποία αν συνδυαστούν με τα (αναγκαία στην πράξη)

μοντέλα μη γραμμικής συμπεριφοράς των δομικών στοιχείων ανωδομής μπορεί να οδηγήσουν

σε ιδιαίτερα σύνθετα μοντέλα εδάφους-κατασκευής που είναι πολύ δύσκολα στο χειρισμό τους.

Από τις τρείς παραπάνω βασικές παραδοχές για την προσομοίωση της αλληλεπίδρασης

εδάφους-θεμελίωσης η πλέον πρόσφορη για άρση είναι η παραδοχή της αμφίπλευρης επαφής

εδάφους-φορέα θεμελίωσης. Σε συνδυασμό με την χρήση του μοντέλου Winkler – όπως θα

αποδειχθεί στα επόμενα κεφάλαια – και απλής επαναληπτικής/θαμιστικής διαδικασίας το ΡΑΦ

επιτυγχάνει την προσομοίωση της μονόπλευρης επαφής εδάφους-στοιχείων θεμελίωσης και έτσι

πραγματοποιεί ένα βήμα προς την ρεαλιστικότερη απόκριση των κατασκευών κυρίως υπό την

επίδραση σεισμικών δυνάμεων.

Στόχο του παρόντος εγχειριδίου αποτελεί η περιγραφή των βασικών αρχών επί των οποίων

στηρίζεται η υλοποίηση που πραγματοποιεί το ΡΑΦ για την προσομοίωση της μονόπλευρης

συμπεριφοράς του εδάφους. Είναι σημαντικό να σημειωθεί ότι ο όρος «μη γραμμική ανάλυση

θεμελίωσης» που όπως παρουσιάστηκε πιο πάνω μπορεί να αφορά διαφορετικές παραμέτρους

του προβλήματος, εστιάζεται εδώ στην μονόπλευρη συμπεριφορά του εδάφους η οποία για την

προσέγγιση της απαιτεί την εφαρμογή μη γραμμικής ανάλυσης.

Ο έλεγχος ενός δομήματος έναντι καθολικής ανατροπής προδιαγράφεται κατ’ αρχήν ως μία

οριακή κατάσταση αστοχίας στο εδάφιο 3.3.(4)A του EN1990 («Ευρωκώδικας – Βάσεις

σχεδιασμού των δομημάτων»). Επομένως αναγνωρίζεται ως μία από τις μορφές αστοχίας έναντι

των οποίων επιβάλλεται η λήψη κατάλληλων μέτρων ασφαλείας. Σύμφωνα με το κείμενο του

“Designer’s Guide to EN1990/Eurocode: Basis of structural design” ο έλεγχος έναντι καθολικής

ανατροπής ανήκει στην τριάδα των ακόλουθων ελέγχων στατικής ισορροπίας: (α) Ανατροπή, (β)

Ανασήκωση (uplift), (γ) Ολίσθηση.

Σ Ε Ι Σ Μ Ι Κ Η Α Ν Α Τ Ρ Ο Π Η Κ Τ Η Ρ Ι Ω Ν -

Μ Η Γ Ρ Α Μ Μ Ι Κ Η Α Ν Α Λ Υ Σ Η Θ Ε Μ Ε Λ Ι Ω Σ Η Σ

Εισαγωγή

Εξειδικεύοντας στην περίπτωση των σεισμικών φορτίων δηλ. στον EN1998-1 γίνεται αρχικά

αναφορά στην καθολική ευστάθεια των φορέων στο εδάφιο 2.2.2(3)Ρ όπου αναφέρεται ότι: «Ο

φορέας ως σύνολο θα ελέγχεται για να εξασφαλιστεί ότι είναι ευσταθής υπό τη σεισμική δράση

σχεδιασμού. Θα εξετάζονται η ευστάθεια σε ανατροπή και σε ολίσθηση……….». Στο εδάφιο

4.4.2.4(1)Ρ αναφέρεται ότι: «Ο φορέας του κτιρίου θα είναι ευσταθής – συμπεριλαμβανομένης

και της ασφάλειας έναντι ανατροπής και ολίσθησης – στην σεισμική κατάσταση σχεδιασμού που

ορίζεται στο EN 1990:2002 6.4.3.4.». Σημειώνεται εδώ ότι η σεισμική κατάσταση σχεδιασμού

που ορίζεται στην παράγραφο 6.4.3.4. του ΕΝ1990 αντιστοιχεί στο γνωστό συνδυασμό

δράσεων με σεισμό: G”+”ψ2Q“+”E. Το κείμενο του EN1998-1 δεν κάνει άλλη ειδική αναφορά

στον έλεγχο έναντι καθολικής ανατροπής και δεν προδιαγράφει κάποια προτεινόμενη

μεθοδολογία διενέργειας του ελέγχου.

Σ Ε Ι Σ Μ Ι Κ Η Α Ν Α Τ Ρ Ο Π Η Κ Τ Η Ρ Ι Ω Ν -

Μ Η Γ Ρ Α Μ Μ Ι Κ Η Α Ν Α Λ Υ Σ Η Θ Ε Μ Ε Λ Ι Ω Σ Η Σ

Μη γραμμική συμπεριφορά/ Προσομοίωση του εδάφους θεμελίωσης

2. Μη γραμμική συμπεριφορά και προσομοίωση του εδάφους

θεμελίωσης ως ελαστικό υπόβαθρο

2.1. Το έδαφος θεμελίωσης ως υλικό με «μονόπλευρη συμπεριφορά»

Όπως είναι γνωστό το έδαφος (γενικά και ανεξαρτήτως κατηγορίας) είναι ένα υλικό με

πρακτικά μηδενική αντίσταση σε εφελκυστικές τάσεις. Έτσι, ένα σώμα (παραμορφώσιμο ή

στερεό) που εδράζεται επί του εδάφους παύει να διατηρεί την επαφή του σε κάποιο τμήμα της

κοινής επιφάνειας (διεπιφάνεια) αναλόγως της εξωτερικής του φόρτισης. Στις συνήθεις

πρακτικές εφαρμογές η επαφή μεταξύ του εδάφους και της θεμελίωσης θεωρείται αμφίπλευρη.

Αυτό σημαίνει ότι γίνεται η παραδοχή πως η συμπεριφορά του εδάφους είναι ίδια κατά την

εφαρμογή θλιπτικών και εφελκυστικών τάσεων. Η παραδοχή αυτή είναι επαρκής κυρίως στην

περίπτωση μελέτης κατασκευών με φορείς θεμελίωσης μικρών διαστάσεων. Επιπλέον η

θεώρηση και του ιδίου βάρους των δομικών στοιχείων συντείνει στο ότι ακόμα και στην

περίπτωση κατά την οποία εμφανιστούν περιοχές αποκόλλησης εδάφους – θεμελίωσης είναι

πολύ μικρές και επομένως η αγνόηση τους δεν οδηγεί σε σοβαρά λάθη.

Ωστόσο όταν μελετώνται κατασκευές υπό δυναμική – σεισμική καταπόνηση (ή ακόμα και

από στατικού τύπου σεισμική καταπόνηση) υπάρχει περίπτωση κάτω από συγκεκριμένες

συνθήκες όπως π.χ. κατά την υψηλή σεισμική διέγερση υψηλών – εύκαμπτων κτηρίων, να

εμφανιστούν αδρανείς περιοχές στην επιφάνεια επαφής εδάφους θεμελίωσης. Μάλιστα στην

περίπτωση αυτή η αποκόλληση έχει σημαντική επιρροή στην απόκριση των κτηρίων καθώς

μεταβάλλει τις παραμορφώσεις και τις τάσεις στη διεπιφάνεια εδάφους-θεμελίωσης αλλά και την

αντίστοιχη κατανομή τους στην ανωδομή, και επομένως θα πρέπει να λαμβάνεται υπόψη.

Η θεώρηση της επαφής εδάφους – φορέων θεμελίωσης ως μονόπλευρης αποτελεί ένα

μη γραμμικό πρόβλημα, καθώς η περιοχή στην οποία μπορεί να εμφανιστεί η αποκόλληση δεν

είναι εκ των προτέρων γνωστή. Επομένως η μεθοδολογία επίλυσης θα πρέπει να είναι

αριθμητική και πιο συγκεκριμένα επαναληπτική (θαμιστική) και μπορεί να προκύψει μέσα από

την διαδικασία ανάλυσης με τη μέθοδο των πεπερασμένων στοιχείων που υλοποιεί το ΡΑΦ

όπως θα παρουσιαστεί ακολούθως.

2.2. Προσομοίωση με το μοντέλο Winkler

Η προσομοίωση της μονόπλευρης συμπεριφοράς του εδάφους ως ελαστικού

υποβάθρου μπορεί να υλοποιηθεί με ικανοποιητική για τις πρακτικές εφαρμογές ακρίβεια με

χρήση του μοντέλου Winkler. Το συγκεκριμένο μοντέλο ελαστικού υποβάθρου είναι

Σ Ε Ι Σ Μ Ι Κ Η Α Ν Α Τ Ρ Ο Π Η Κ Τ Η Ρ Ι Ω Ν -

Μ Η Γ Ρ Α Μ Μ Ι Κ Η Α Ν Α Λ Υ Σ Η Θ Ε Μ Ε Λ Ι Ω Σ Η Σ

Μη γραμμική συμπεριφορά/ Προσομοίωση του εδάφους θεμελίωσης

ενσωματωμένο στο ΡΑΦ ως ελαστικό υπόβαθρο αμφίπλευρης συμπεριφοράς. Η υλοποίηση της

μονόπλευρης συμπεριφοράς ξεκινά από την θεώρηση του διαγράμματος δυνάμεων-

μετακινήσεων του Σχ. 1β στο οποίο παρουσιάζεται επίσης για λόγους σύγκρισης το αντίστοιχο

διάγραμμα αμφίπλευρης συμπεριφοράς (Σχ. 1α).

Σχήμα 1. Διάγραμμα δυνάμεων-μετακινήσεων για προσομοίωμα ελαστικού υποβάθρου Winkler

με αμφίπλευρη και μονόπλευρη συμπεριφορά.

Στο παραπάνω σχήμα θα πρέπει να ληφθεί υπόψη ότι οι μετακινήσεις uza, uzb αφορούν την

επιφάνεια του εδάφους και όχι την επιφάνεια του θεμελίου που βρίσκεται σε επαφή με το έδαφος.

Αυτή η παρατήρηση είναι πολύ σημαντική γιατί τα ελατήρια και οι αντίστοιχοι νόμοι

συμπεριφοράς τους αφορούν το έδαφος.

Σ Ε Ι Σ Μ Ι Κ Η Α Ν Α Τ Ρ Ο Π Η Κ Τ Η Ρ Ι Ω Ν -

Μ Η Γ Ρ Α Μ Μ Ι Κ Η Α Ν Α Λ Υ Σ Η Θ Ε Μ Ε Λ Ι Ω Σ Η Σ

Μη γραμμική συμπεριφορά/ Προσομοίωση του εδάφους θεμελίωσης

Σχήμα 2. Συσχέτιση παραμορφώσεων θεμελίωσης και εδάφους στη διεπιφάνεια τους, στην

περίπτωση μονόπλευρης και στην περίπτωση αμφίπλευρης σύνδεσης.

Η διαφορά βρίσκεται στο ότι όταν γίνεται δεκτή αμφίπλευρη συμπεριφορά των συνδέσμων

που περιγράφουν τη συμπεριφορά του εδάφους η εφελκυστική μετακίνηση uZb είναι κοινή για τη

διεπιφάνεια εδάφους/θεμελίωσης. Αντίθετα όταν δεχόμαστε μονόπλευρη συμπεριφορά τότε σε

περίπτωση εφελκυσμού έχουμε: uZb,θεμελίωση=0 και uZb,έδαφ.≠0. Αυτή η διαφοροποίηση γίνεται

προφανής στο Σχ. 2.

Για την προσομοίωση της μονόπλευρης συμπεριφοράς του μοντέλου Winkler απαιτείται

πέραν της θεώρησης του διαγράμματος δυνάμεων-μετακινήσεων του Σχ. 1β η διακριτοποίηση

της θεμελίωσης έτσι ώστε να τοποθετηθούν σε μικρές αποστάσεις μεταξύ τους κατακόρυφα

μεμονωμένα ελατήρια. Επιπλέον, υπάρχουν δύο διαφορετικές προσεγγίσεις για την

προσομοίωση της δυσκαμψίας των στοιχείων θεμελίωσης, οι οποίες χρησιμοποιούνται για

διαφορετικούς σκοπούς:

 Θεώρηση των στοιχείων θεμελίωσης (πεδιλοδοκών, συνδετήριων δοκών, πλακών

κοιτόστρωσης) ως απολύτως στερεών. Στόχος αυτής της προσέγγισης είναι να εντοπιστεί το

Σ Ε Ι Σ Μ Ι Κ Η Α Ν Α Τ Ρ Ο Π Η Κ Τ Η Ρ Ι Ω Ν -

Μ Η Γ Ρ Α Μ Μ Ι Κ Η Α Ν Α Λ Υ Σ Η Θ Ε Μ Ε Λ Ι Ω Σ Η Σ

Μη γραμμική συμπεριφορά/ Προσομοίωση του εδάφους θεμελίωσης

εμβαδόν της πιθανής περιοχής αποκόλλησης/ανασήκωσης της θεμελίωσης και να

διαπιστωθεί ο κίνδυνος ανατροπής του κτηρίου ως στερεού σώματος. Πρόκειται για μία

εφαρμογή του μοντέλου μονόπλευρης στήριξης η οποία αναπτύσσεται στο σχετικό εγχειρίδιο

τεκμηρίωσης του ΡΑΦ.

 Θεώρηση των στοιχείων θεμελίωσης με την πραγματική τους δυσκαμψία. Αυτή η πιο

ρεαλιστική προσέγγιση έχει ως στόχο την εκτίμηση της κατανομής των τάσεων στη

διεπιφάνεια εδάφους θεμελίωσης στις περιοχές όπου η θεμελίωση εξακολουθεί να είναι σε

επαφή με το έδαφος. Είναι προφανές ότι όταν παύσουμε να δεχόμαστε ότι το έδαφος μπορεί

να παραλάβει εφελκυστικές τάσεις, τότε η κατανομή και το μέγεθος των θλιπτικών τάσεων

στη διεπιφάνεια εδάφους/θεμελίωσης (που πρέπει να είναι τέτοια ώστε να ισορροπεί τις

εξωτερικές δυνάμεις του κτηρίου) είναι διαφορετικά από την περίπτωση της θεώρησης

αμφίπλευρης έδρασης. Επομένως υπάρχει σοβαρό ενδεχόμενο οι πραγματικά

αναπτυσσόμενες θλιπτικές τάσεις να είναι πολύ μεγαλύτερες από αυτές που προβλέπει το

αμφίπλευρο μοντέλο με αποτέλεσμα να αγνοούνται πιθανοί κίνδυνοι υπέρβασης των

επιτρεπόμενων τάσεων. Το ενδεχόμενο αυτό γίνεται εύκολα κατανοητό με τη βοήθεια του

απλού παραδείγματος του Σχ. 3. Στο παράδειγμα αυτό μελετάται η συμπεριφορά του

εδάφους θεμελίωσης ενός απλού προβόλου με τη θεώρηση αμφίπλευρης και μονόπλευρης

συμπεριφοράς. Αν δεχθούμε αμφίπλευρη συμπεριφορά τότε η ανάλυση ολοκληρώνεται με

την ΕΠΙΛΥΣΗ 1 και η μέγιστη θλιπτική τάση είναι ίση με σθλ.=-384.7kN/m2. Αντίθετα όταν

θεωρηθεί μονόπλευρη έδραση τότε απαιτείται μία σειρά τεσσάρων επιλύσεων (με την

διαδικασία που θα περιγραφεί στην επόμενη παράγραφο). Μετά την ΕΠΙΛΥΣΗ 4 προκύπτει

μία αδρανής ζώνη μήκους περίπου 0.325m. Έτσι αναπτύσσονται θλιπτικές τάσεις μόνον σε

ζώνη μήκους dc=1-0.325=0.675m. Στην περίπτωση αυτή το διάγραμμα των τάσεων (που

αναπτύσσεται για να ισορροπήσει την εξωτερική ροπή ανατροπής του προβόλου) έχει

μέγιστη τιμή σθλ.=-429.5kN/m2. Επομένως η αύξηση της θλιπτικής τάσης στην περίπτωση

θεώρησης μονόπλευρης έδρασης είναι της τάξης του 11.65%. Είναι προφανές ότι σε

περιπτώσεις φορέων με μεγαλύτερες ροπές ανατροπής λόγω εξωτερικών φορτίων είναι

δυνατό οι αντίστοιχες αυξήσεις των θλιπτικών τάσεων στο έδαφος λόγω θεώρηση

μονόπλευρης έδρασης να είναι μεγαλύτερες.

Σ Ε Ι Σ Μ Ι Κ Η Α Ν Α Τ Ρ Ο Π Η Κ Τ Η Ρ Ι Ω Ν -

Μ Η Γ Ρ Α Μ Μ Ι Κ Η Α Ν Α Λ Υ Σ Η Θ Ε Μ Ε Λ Ι Ω Σ Η Σ

Μη γραμμική συμπεριφορά/ Προσομοίωση του εδάφους θεμελίωσης

Σχήμα 3. Σύγκριση της μέγιστης θλιπτικής τάσης του εδάφους σε περίπτωση αμφίπλευρης και

μονόπλευρης συμπεριφοράς.

2.3. Περιγραφή διαδικασίας επίλυσης για στατικά φορτία

Όπως σημειώθηκε και στις προηγούμενες παραγράφους το πρόβλημα της επίλυσης φορέων

εδραζόμενων σε ελαστικό υπόβαθρο μονόπλευρης συμπεριφοράς είναι μη γραμμικό. Έτσι για

την επίλυση του απαιτούνται επαναληπτικές διαδικασίες και αλγόριθμοι γνωστοί από

προβλήματα υλικής ή γεωμετρικής μη γραμμικότητας. Επίσης σημαντικές παραδοχές που

πρέπει να διευκρινιστούν πριν την περιγραφή της διαδικασίας επίλυσης που υλοποιείται από το

ΡΑΦ είναι:

 «Στατικοποίηση» του προβλήματος: Το γεγονός ότι τα προβλήματα αποκόλλησης στη

διεπιφάνεια εδάφους-θεμελίωσης είναι κατά κανόνα συνδεδεμένα με σεισμικές φορτίσεις,

οδηγεί στο συμπέρασμα ότι το πρόβλημα είναι δυναμικό. Ωστόσο, η θεώρηση της δυναμικής

φύσης του προβλήματος οδηγεί στην ανάγκη υιοθέτησης σύνθετων αλγορίθμων που

Σ Ε Ι Σ Μ Ι Κ Η Α Ν Α Τ Ρ Ο Π Η Κ Τ Η Ρ Ι Ω Ν -

Μ Η Γ Ρ Α Μ Μ Ι Κ Η Α Ν Α Λ Υ Σ Η Θ Ε Μ Ε Λ Ι Ω Σ Η Σ

Μη γραμμική συμπεριφορά/ Προσομοίωση του εδάφους θεμελίωσης

περιπλέκουν το πρόβλημα σε βαθμό ασύμβατο με τον βαθμό πολυπλοκότητας που είναι

επαρκής για τις πρακτικές εφαρμογές. Για το λόγο αυτό ο αλγόριθμος επίλυσης που έχει

ενσωματωμένο το ΡΑΦ είναι προσαρμοσμένος σε ισοδύναμα στατικού τύπου οριζόντια

σεισμικά φορτία. Έτσι επιτυγχάνεται η «στατικοποιήση» του προβλήματος. Η επιλογή αυτή

δίνει ποιοτικώς αξιόπιστα αποτελέσματα καθώς προσεγγίζει το εύρος των αδρανών

περιοχών που δεν είναι δυνατόν να εντοπιστούν με χρήση αμφίπλευρων συνδέσμων.

 Επιλογή των οριζόντιων στατικού τύπου σεισμικών φορτίων: Η «στατικοποίηση» του

προβλήματος είναι συνδεδεμένη και με την επιλογή των σεισμικών φορτίων που

εφαρμόζονται στον φορέα για την επίλυση. Είναι προφανές ότι για τον υπολογισμό τους η

πιο δόκιμη οδός είναι να ακολουθηθεί η διαδικασία υπολογισμού των οριζοντίων σεισμικών

δυνάμεων που προδιαγράφονται από τον ΕΝ1998-1 για την περίπτωση της «Μεθόδου

ανάλυσης οριζόντιας φόρτισης». Είναι γνωστό ότι οι κατανομές που προδιαγράφονται για την

διαδικασία της Μεθόδου ανάλυσης οριζόντιας φόρτισης δίνονται στην παράγραφο 4.3.3.2.3.

του ΕΝ1998-1 και αφορούν κτήρια κανονικά σε κάτοψη στα οποία η απόκριση δεν

επηρεάζεται σημαντικά από ιδιομορφές υψηλότερες της πρώτης. Ωστόσο, η μέθοδος που

υιοθετείται από το ΡΑΦ εφαρμόζεται και σε κτήρια τα οποία δεν είναι κανονικά και δεν

πληρούν τις προυποθέσεις εφαρμογής της Μεθόδου ανάλυσης οριζόντιας φόρτισης που

δίνονται στην παράγραφο 4.3.3.2.1. του ΕΝ1998-1. Έτσι για να αντιμετωπιστεί αυτό το κενό

υιοθετείται η προτεινόμενη «ομοιόμορφη» κατανομή που προδιαγράφεται από τον ΕΝ1998-

1 για την υλοποίηση της Μη-γραμμικής στατικής ανάλυσης στην παράγραφο 4.3.3.4.2.2. Και

στις δύο περιπτώσεις – κανονικά και μη κανονικά κτήρια – υπολογίζεται καταρχήν η σεισμική

τέμνουσα βάσης σύμφωνα με την παράγραφο 4.3.3.2.2. και αυτή κατανέμεται στους ορόφους

με βάση την κατανομή της παραγράφου 4.3.3.2.3. (σχέση 4.11) για τα κανονικά κτήρια και με

βάση την κατανομή της παραγράφου 4.3.3.4.2.2(1) για τα μη κανονικά κτήρια («ομοιόμορφη»

κατανομή ανάλογη της μάζας της κάθε στάθμης ανεξαρτήτως του ύψους της). Τα φορτία που

υπολογίζονται και στις δύο περιπτώσεις εφαρμόζονται στις τέσσερεις θέσεις μάζας του κάθε

ορόφου βάσει των τυχηματικών εκκεντροτήτων (παράγραφος 4.3.2 του ΕΝ1998-1).

 Συνδυασμοί φόρτισης για τις αναλύσεις: Ένας ακόμα παράγοντας που πρέπει να καθοριστεί

για τις αναλύσεις είναι και ο απαιτούμενος συνδυασμός φόρτισης. Είναι προφανές ότι εφόσον

η ανάλυση αφορά σεισμικό συνδυασμό δράσεων – που μπορεί να οδηγήσει σε αποκολλήσεις

της διεπιφάνειας εδάφους-θεμελίωσης – ο συνδυασμός δράσεων είναι ο: G+ψ2Q±E.

Δύο θέματα πρέπει να διευκρινιστούν για τον συγκεκριμένο συνδυασμό δράσεων:

(α) Ο καθορισμός της σεισμικής δράσης: Η σεισμική δράση όπως και σε όλες τις κατηγορίες

ανάλυσης που περιέχουν σεισμό θα πρέπει να αντιστοιχεί σε ταυτόχρονη δράση του σεισμού

σε δύο οριζόντιες διευθύνσεις. Στην παρούσα περίπτωση που το πρόβλημα είναι

«στατικοποιημένο» και ο σεισμός προσομοιώνεται με οριζόντια φορτία επιλέγει η λογική του

Σ Ε Ι Σ Μ Ι Κ Η Α Ν Α Τ Ρ Ο Π Η Κ Τ Η Ρ Ι Ω Ν -

Μ Η Γ Ρ Α Μ Μ Ι Κ Η Α Ν Α Λ Υ Σ Η Θ Ε Μ Ε Λ Ι Ω Σ Η Σ

Μη γραμμική συμπεριφορά/ Προσομοίωση του εδάφους θεμελίωσης

ΚΑΝΕΠΕ (η οποία δεν αντιτίθεται στις γενικές αρχές του ΕΝ1998-1) σύμφωνα με την οποία

η ταυτόχρονη δράση του σεισμού σε δύο οριζόντιες – και κάθετες μεταξύ τους διευθύνσεις –

υλοποιείται με τη λογική του 10:3 (παράγραφος 5.4.9 του ΚΑΝ.ΕΠΕ.). Σύμφωνα με τη λογική

αυτή κάθε μία από τις δύο οριζόντιες διευθύνσεις (έστω X και Y) θεωρείται διαδοχικά ως κύρια

και έτσι ο σεισμός εφαρμόζεται με το 100% της τιμής του που προκύπτει από τη κατανομή

της τέμνουσας βάσης στην κύρια διεύθυνση και με το 30% αυτής στη δευτερεύουσα

διεύθυνση. Δηλαδή τα σεισμικά φορτία τα οποία επιβάλλονται μαζί με τα κατακόρυφα

προκύπτουν από τη συμβολική σχέση: Ε «=» ±Εκύρια±0.3Εδευτερεύουσα. Αν αυτή η σχέση

εφαρμοστεί διαδοχικά για όλους τους συνδυασμούς των προσήμων αλλά και (α) θεωρώντας

κάθε μία από τις δύο διευθύνεις (Χ και Υ) ως κύριες και (β) τις τέσσερεις θέσεις μάζας λόγω

τυχηματικών εκκεντροτήτων τότε προκύπτουν 32 διαφορετικοί συνδυασμοί δράσεων όπως

και στην περίπτωση της διενέργειας της στατικής ανελαστικής ανάλυσης.

(β) Ο τρόπος επιβολής των φορτίων του συνδυασμού: Λόγω του ότι η ανάλυση είναι μη

γραμμική ΔΕΝ υπάρχει η δυνατότητα ξεχωριστού υπολογισμού των μεγεθών έντασης και

μετακίνησης λόγω των δράσεων G, Q και Ε και επαλληλίας τους διότι σε κάθε μία από αυτές

τις δράσεις η αποκόλληση στη θεμελίωση είναι διαφορετική. Επομένως κάθε δράση

αντιστοιχεί σε διαφορετικό σύστημα εδάφους-φορέα. Έτσι αναγκαστικά η όλη επαναλητπική

διαδικασία – όπως θα παρουσιαστεί ακολούθως – αφορά το σύνολο των φορτίων του

συνδυασμού G+ψ2Q±E τα οποία πρέπει να επιβληθούν στο φορέα ταυτόχρονα.

Η διαδικασία επαναληπτικής επίλυσης που υλοποιείται από το ΡΑΦ

Η μη γραμμική διαδικασία επίλυσης των φορέων με μονόπλευρους ελαστικούς εδαφικούς

συνδέσμους υλοποιείται στο ΡΑΦ με έναν απλό επαναληπτικό αλγόριθμο ο οποίος

αποδεδειγμένα συγκλίνει στη σωστή λύση αποδίδοντας ορθά τόσο την περιοχή της θεμελίωσης

που βρίσκεται σε αποκόλληση αφενός και τα αντίστοιχα μεγέθη έντασης και μετακίνησης της

ανωδομής και των στοιχείων θεμελίωσης αφετέρου. Κεντρική ιδέα του επιλεγμένου αλγορίθμου

είναι η εξαρχής επιβολή του συνόλου των εξωτερικών φορτίων (κατακόρυφων στατικών και

οριζόντιων σεισμικών) και ο έλεγχος των σημείων στη θεμελίωση (στην ουσία των σημείων όπου

έχουν προστεθεί εδαφικά ελαστικά ελατήρια) τα οποία έχουν μετακίνηση αντίθετη με την

μετακίνηση κατά την οποία ενεργοποιούνται τα ελατήρια (βλ. Σχ. 1β). Στα σημεία που η

μετακίνηση είναι αντίθετη με την φορά ενεργοποίησης των ελατηρίων πραγματοποιείται

αφαίρεση τους και η επίλυση με το σύνολο των φορτίων πραγματοποιείται ξανά. Μετά την ένα

επίλυση πραγματοποιείται νέος έλεγχος των μετακινήσεων στους κόμβους που έχουν ελατήρια

και ελέγχεται αν πρέπει να αφαιρεθούν κάποια ακόμα. Η επίλυση σταματά – και θεωρείται ότι

συνέκλινε στην ορθή λύση – όταν σε δύο διαδοχικές αναλύσεις δεν προκύπτει ανάγκη αφαίρεσης

νέων ελατηρίων. Στην ουσία, με τον επιλεγμένο αλγόριθμο ο νόμος μονόπλευρης συμπεριφοράς

Σ Ε Ι Σ Μ Ι Κ Η Α Ν Α Τ Ρ Ο Π Η Κ Τ Η Ρ Ι Ω Ν -

Μ Η Γ Ρ Α Μ Μ Ι Κ Η Α Ν Α Λ Υ Σ Η Θ Ε Μ Ε Λ Ι Ω Σ Η Σ

Μη γραμμική συμπεριφορά/ Προσομοίωση του εδάφους θεμελίωσης

(Σχ. 1) δεν υλοποιείται με κάποιο ειδικό μη γραμμικό ελατήριο αλλά με συμβατικά αμφίπλευρα

τα οποία όμως αφαιρούνται σε κάθε βήμα της ανάλυσης αν εντοπιστεί ότι παραμορφώνονται

αντίθετα προς τη φορά στην οποία μπορούν να λειτουργήσουν και να παραλάβουν φόρτιση. Η

όλη παραπάνω διαδικασία περιγράφεται συνοπτικά με τη βοήθεια του ακόλουθου διαγράμματος

ροής του Σχ. 4.

Σχήμα 4. Αδρομερές διάγραμμα ροής υλοποίησης αλγορίθμου ανάλυσης φορέων με

μονόπλευρους ελαστικούς εδαφικούς συνδέσμους.

Σ Ε Ι Σ Μ Ι Κ Η Α Ν Α Τ Ρ Ο Π Η Κ Τ Η Ρ Ι Ω Ν -

Μ Η Γ Ρ Α Μ Μ Ι Κ Η Α Ν Α Λ Υ Σ Η Θ Ε Μ Ε Λ Ι Ω Σ Η Σ

Έλεγχος κτηρίων έναντι καθολικής ανατροπής

3. Έλεγχος κτηρίων έναντι καθολικής ανατροπής

3.1. Γενικά – Παραδοχές του ΡΑΦ

Το ΡΑΦ πραγματοποιεί τον έλεγχο των κτηρίων έναντι καθολικής ανατροπής με βάση γενικές

αρχές της μηχανικής των κατασκευών, την δυνατότητα επίλυσης με θεώρηση του εδάφους ως

υλικού με «μονόπλευρη» συμπεριφορά (μη γραμμική ανάλυση θεμελίωσης) αλλά και

συγκεκριμένες παραδοχές που θα παρουσιαστούν παρακάτω.

Είναι γνωστό ότι το πρόβλημα της καθολικής ευστάθειας των κτηρίων υπό σεισμική φόρτιση

είναι γενικά ένα δυναμικό πρόβλημα το οποίο ακολουθεί τις βασικές αρχές της ισορροπίας

σωμάτων υπό δυναμική φόρτιση όπως είναι ο σεισμός. Ωστόσο, η αντιμετώπιση του σε

πρακτικό επίπεδο μπορεί να γίνει για λόγους απλοποίησης αλλά χωρίς να χαθεί το ζητούμενο

που είναι η ασφάλεια μέσω της «στατικοποίησης» του. Μια τέτοια βασική παραδοχή είναι

άλλωστε αποδεκτή και σε μεθόδους ανάλυσης που συστήνει ο EN1998-1 έναντι των συνήθων

οριακών καταστάσεων αστοχίας, δηλαδή την «μέθοδο ανάλυσης οριζόντιας φόρτισης» (σε

επίπεδο γραμμικής ανάλυσης) και την «μη-γραμμική στατική ανάλυση» (σε επίπεδο μη

γραμμικής ανάλυσης). Στα πλαίσια των μεθόδων αυτών η δυναμική φύση της σεισμικής

φόρτισης αντικαθίσταται από μια ισοδύναμη «στατική» θεώρηση των σεισμικών φορτίων

λαμβάνοντας όμως κατάλληλα μέτρα έτσι ώστε να λαμβάνεται υπόψη με έμμεσο τρόπο. Έτσι,

το ΡΑΦ ακολουθώντας την λογική αυτή πραγματοποιεί τον έλεγχο έναντι καθολικής ανατροπής

υπό σεισμική φόρτιση προσομοιώνοντας τη σεισμική δράση με ισοδύναμα στατικά φορτία όπως

θα περιγραφεί πιο αναλυτικά παρακάτω.

Μια ακόμα βασική παραδοχή – η αναγκαιότητα της οποίας θα γίνει σαφής κατά την

περιγραφή της εφαρμοζόμενης μεθοδολογίας ελέγχου – είναι η θεώρηση της θεμελίωσης ως

απολύτως στερεού σώματος. Επιπλέον θα πρέπει να σημειωθεί ότι ό έλεγχος έναντι καθολικής

ανατροπής εφαρμόζεται από το ΡΑΦ αξιοποιώντας δύο βασικά χαρακτηριστικά του

προγράμματος:

(α) την προσομοίωση του εδάφους θεμελίωσης ως ελαστικού υποβάθρου με το μοντέλο του

Winkler, και

(β) την δυνατότητα μη-γραμμικής ανάλυσης της θεμελίωσης που αντιστοιχεί στην δυνατότητα

θεώρησης των ελατηρίων Winkler ως μονόπλευρων συνδέσμων και την συνεπακόλουθη

δυνατότητα θεώρησης φαινομένων αποκόλλησης τμήματος της θεμελίωσης υπό σεισμική

φόρτιση (βλ. παράγραφο 2).

Σ Ε Ι Σ Μ Ι Κ Η Α Ν Α Τ Ρ Ο Π Η Κ Τ Η Ρ Ι Ω Ν -

Μ Η Γ Ρ Α Μ Μ Ι Κ Η Α Ν Α Λ Υ Σ Η Θ Ε Μ Ε Λ Ι Ω Σ Η Σ

Έλεγχος κτηρίων έναντι καθολικής ανατροπής

3.2. Το κριτήριο ανατροπής

Το κριτήριο ανατροπής είναι συνδεδεμένο με την εμφάνιση αδρανούς περιοχής στην

διεπιφάνεια θεμελίωσης-εδάφους, δηλ. μιας περιοχής στην οποία ο φορέας θεμελίωσης έχει

«αποκολληθεί» από το έδαφος θεμελίωσης. Επομένως η μαθηματική του διατύπωση οφείλει να

λάβει υπόψη το γεγονός ότι δεν είναι δυνατή η ανάπτυξη εφελκυστικών τάσεων στην αδρανή

περιοχή. Θα πρέπει καταρχήν να σημειωθεί ότι δεν πρέπει να γίνεται σύγχυση μεταξύ της

ουδέτερης γραμμής και της γραμμής που οριοθετεί την αδρανή περιοχή. Πέραν του γεγονότος

ότι αμφότερες είναι ευθείες γραμμές (λόγω του ότι γίνεται η παραδοχή της γραμμικής μεταβολής

των τάσεων), η ουδέτερη γραμμή ορίζει το σύνορο μεταξύ των θλιπτικών και των εφελκυστικών

τάσεων ενώ η γραμμή που οριοθετεί την αδρανή περιοχή ορίζει το σύνορο μεταξύ της

θλιβόμενης περιοχής όπου έχουμε την ανάπτυξη τάσεων και της εφελκυόμενης περιοχής όπου

δεν αναπτύσσονται τάσεις. Επιπλέον, διαφέρει και ο τρόπος εντοπισμού τους. Πιο

συγκεκριμένα, ο εντοπισμός της θέσης του ουδέτερου άξονα είναι εύκολος και επιτυγχάνεται

μέσω κλειστού υπολογισμού όπως μπορεί εύκολα να διαπιστωθεί από την μελέτη της

μαθηματικής σχέσης των τάσεων σε επιφάνειες που συμπεριφέρονται ως απαραμόρφωτες

διατομές υπό διαξονική κάμψη με ορθή δύναμη (βλ. οποιοδήποτε βιβλίο Αντοχής Υλικών).

Αντίθετα ο υπολογισμός της αδρανούς περιοχής σε τυχούσες επιφάνειες έδρασης δεν μπορεί

να επιτευχθεί με κλειστό υπολογισμό και είναι πιο δυσχερής. Το ΡΑΦ έχοντας ενσωματωμένο

τον θαμιστικό αλγόριθμο υπολογισμού για την μη γραμμική ανάλυση θεμελίωσης (παράγραφος

2) έχει τη δυνατότητα εντοπισμού της γραμμής που οριοθετεί την αδρανή περιοχή σε μία

επιφάνεια έδρασης εφόσον υπάρχει.

Η ποσοτικοποίηση του κριτηρίου ανατροπής ξεκινά από το κριτήριο του DIN1054 για

ορθογωνικές επιφάνειες έδρασης υπό μονοαξονική καταπόνηση και γίνεται επέκταση του για

τυχούσες επιφάνειες υπό διαξονική καταπόνηση. Ο DIN1054 ορίζει ως οριακή εκκεντρότητα

επιβολής της δύναμης/αντίδρασης σε επιφάνεια μήκους L την τιμή e=L/3. Μπορεί να αποδειχθεί

ότι στην περίπτωση που e=L/3, το μήκος της αδρανούς περιοχής είναι ίσο με L/2. Δηλαδή όταν

η εκκεντρότητα της δύναμης/αντίδρασης της επιφάνειας έδρασης είναι ίση με L/3 τότε το ήμισυ

του μήκους της είναι το μήκος της αδρανούς περιοχής. Η απόδειξη αυτής της πρότασης μπορεί

να γίνει πολύ εύκολα με την βοήθεια του ακόλουθου σχήματος:

Σ Ε Ι Σ Μ Ι Κ Η Α Ν Α Τ Ρ Ο Π Η Κ Τ Η Ρ Ι Ω Ν -

Μ Η Γ Ρ Α Μ Μ Ι Κ Η Α Ν Α Λ Υ Σ Η Θ Ε Μ Ε Λ Ι Ω Σ Η Σ

Έλεγχος κτηρίων έναντι καθολικής ανατροπής

Στο σχήμα έχει σχεδιαστεί η κατανομή των τάσεων σε μία ορθογωνική επιφάνεια έδρασης που

καταπονείται από κατακόρυφη δύναμη με εκκεντρότητα e=L/3. Δεχόμενοι ότι υπάρχει μία

αδρανής περιοχή με μήκος x όπου δεν αναπτύσσονται τάσεις, ζητούμενο είναι να υπολογιστεί

το μήκος αυτό. Γνωρίζουμε όμως ότι: (α) το μήκος όπου αναπτύσσονται τάσεις είναι ίσο με (L-

x), (β) ότι η συνισταμένη των τάσεων δηλ. η Fst εφαρμόζεται σε απόσταση L/2-L/3=L/6 από το

δεξιό άκρο της επιφάνειας όπου αναπτύσσεται η μέγιστη τάση σmax, και (γ) από την κλασσική

γεωμετρία ότι L/6=(L-x)/3. Άρα:

 

L L x L

L 2 L x x

6 3 2



     

(1)

Έτσι – και εφόσον θεωρήσουμε ότι το πλάτος της επιφάνειας έδρασης είναι ίσο με b – τότε το

συνολικό εμβαδόν της αδρανούς περιοχής είναι ίσο με Ααδρ=(L/2)b=Atot/2. Το συμπέρασμα αυτό

μπορεί να επεκταθεί και σε τυχούσες επιφάνειες έδρασης υπό διαξονική καταπόνηση.

Επομένως το κριτήριο ανατροπής μπορεί να εκφραστεί σε όρους εμβαδού επιφάνειας ως εξής:

tot

αδρ

Κριτήριο ανατροπής Α > 2



(2)

Το ΡΑΦ έχοντας τη δυνατότητα να υπολογίσει τη γραμμή που οριοθετεί την αδρανή περιοχή

διενεργεί τον έλεγχο ανατροπής με υπολογισμό της επιφάνειας της αδρανούς περιοχής και

σύγκρισης της με την συνολική επιφάνεια έδρασης.

3.3. Διαδικασία ελέγχου

Το ΡΑΦ διενεργεί τον έλεγχο ασφάλειας των κτηρίων έναντι καθολικής ανατροπής

ακολουθώντας τις επιταγές του ΕΝ1998-1 και με βάση τις παραδοχές των παραγράφων 3.1,

3.2. Έτσι ακολουθείται το διάγραμμα ροής του Σχ. 5.

Σ Ε Ι Σ Μ Ι Κ Η Α Ν Α Τ Ρ Ο Π Η Κ Τ Η Ρ Ι Ω Ν -

Μ Η Γ Ρ Α Μ Μ Ι Κ Η Α Ν Α Λ Υ Σ Η Θ Ε Μ Ε Λ Ι Ω Σ Η Σ

Έλεγχος κτηρίων έναντι καθολικής ανατροπής

Σχήμα 5. Διάγραμμα ροής ελέγχου ασφάλειας κτηρίων έναντι καθολικής ανατροπής

Επισημάνσεις επί του διαγράμματος ροής:

1. Η διαδικασία υπολογισμού των οριζόντιων σεισμικών φορτίων στηρίζεται στη διαδικασία που

προδιαγράφεται από τον ΕΝ1998-1 για τον υπολογισμό των οριζόντιων σεισμικών δυνάμεων

που χρησιμοποιούνται για την υλοποίηση της «Μεθόδου Ανάλυσης Οριζόντιας Φόρτισης».

Έτσι γίνεται υπολογισμός της τέμνουσας βάσης του ελεγχόμενου κτηρίου κατά τις διευθύνσεις

των καθολικών του αξόνων Χ και Υ. Ακολουθεί η κατανομή τους στις στάθμες του κτηρίου. Η

κατανομή αυτή γίνεται με βάση το αν το κτήριο είναι κανονικό καθ’ ύψος ή όχι με βάση τα

κριτήρια του ΕΝ1998-1 που υλοποιεί το ΡΑΦ. Έτσι αν το κτήριο είναι κανονικό τότε η

κατανομή γίνεται με βάση τη σχέση (4.11) του ΕΝ1998-1 (παράγραφος 4.3.3.2.1) που οδηγεί

σε τριγωνική κατανομή. Εάν το κτήριο δεν είναι κανονικό τότε υιοθετείται η προτεινόμενη

«ομοιόμορφη» κατανομή που προδιαγράφεται από τον ΕΝ1998-1 για την υλοποίηση της Μη-

γραμμικής στατικής ανάλυσης στην παράγραφο 4.3.3.4.2.2. Αυτή η κατανομή στηρίζεται

στον υπολογισμό της σεισμικής δύναμης της κάθε στάθμης με βάση τη μάζα της.

Σ Ε Ι Σ Μ Ι Κ Η Α Ν Α Τ Ρ Ο Π Η Κ Τ Η Ρ Ι Ω Ν -

Μ Η Γ Ρ Α Μ Μ Ι Κ Η Α Ν Α Λ Υ Σ Η Θ Ε Μ Ε Λ Ι Ω Σ Η Σ

Έλεγχος κτηρίων έναντι καθολικής ανατροπής

2. Δεδομένου ότι ο ΕΝ1998-1 συστήνει τον έλεγχο έναντι καθολικής ανατροπής για τον σεισμικό

συνδυασμό δράσεων, το ΡΑΦ συνθέτει τα αντίστοιχα διανύσματα φόρτισης. Ειδικές

διευκρινήσεις πρέπει να γίνουν για το τμήμα του συνδυασμού που αντιστοιχεί στο σεισμό

«Ε». Ο τρόπος υπολογισμού των σεισμικών φορτίων «Ε» διευκρινίστηκε στο προηγούμενο

εδάφιο. Ωστόσο πρέπει να διευκρινιστεί τόσο η θέση εφαρμογής τους σε κάθε στάθμη όσο

και ο τρόπος χωρικής επαλληλίας τους καθώς ο έλεγχος οφείλει να γίνει για ταυτόχρονη

σεισμική δράση στους δύο οριζόντιους καθολικούς άξονες των κτηρίων Χ και Υ. Όσον αφορά

στις θέσεις εφαρμογής των σεισμικών φορτίων ακολουθείται η γενική σύσταση του

κανονισμού για την θεώρηση της τυχηματικής εκκεντρότητας. Έτσι δημιουργούνται τέσσερεις

καταστάσεις φόρτισης λαμβάνοντας υπόψη την διαδοχική εφαρμογή των σεισμικών φορτίων

σε τέσσερεις θέσεις εκατέρωθεν του κέντρου μάζας της κάθε στάθμης. Δηλ. ακολουθείται η

διαδικασία τοποθέτησης των φορτίων που ακολουθείται και στην «Μέθοδο Ανάλυσης

Οριζόντιας Φόρτισης» (θέσεις εφαρμογής εκατέρωθεν του κέντρου μάζας με εκκεντρότητες

e1,2=±0.05LX και e3,4=±0.05LY). Όσον αφορά στην μέθοδο χωρικής επαλληλίας

χρησιμοποιείται η προσέγγιση του κανόνα του 30%. Δηλ. θεωρείται διαδοχικά ως κύρια

σεισμική διεύθυνση η διεύθυνση Χ και Υ κατά την οποία εφαρμόζεται το 100% του φορτίου

της κάθε στάθμης και ταυτόχρονα η δευτερεύουσα σεισμική διεύθυνση όπου εφαρμόζεται το

30% του αντίστοιχου σεισμικού φορτίου. Έτσι έχουμε τις εξής περιπτώσεις:

Α) ΕΧ±0.0ΕΥ  ΕΧ+0.3ΕΥ και ΕΧ-0.3ΕΥ

Β) -ΕΧ±0.0ΕΥ  -ΕΧ+0.3ΕΥ και -ΕΧ-0.3ΕΥ

Γ) ΕΥ±0.0ΕΧ  ΕΥ+0.3ΕΧ και ΕΥ-0.3ΕΧ

Δ) -ΕΥ±0.0ΕΧ  -ΕΥ+0.3ΕΧ και -ΕΥ-0.3ΕΧ

Οι περιπτώσεις Α-Δ οδηγούν σε 8 διαφορετικούς συνδυασμούς οι οποίοι αν συνδυαστούν με

τις 4 διαφορετικές θέσεις εφαρμογής των οριζόντων σεισμικών φορτίων στις στάθμες των

ορόφων οδηγούν σε 32 διαφορετικά διανύσματα φόρτισης για τα οποία πρέπει να γίνει ο

έλεγχος.

3. Η κάθε μία από τις 32 απαιτούμενες επιλύσεις εκτελείται με θεώρηση μη γραμμικής ανάλυσης

για τη θεμελίωση. Αυτό σημαίνει ότι σε κάθε περίπτωση ακολουθείται ο θαμιστικός

αλγόριθμος που έχει ενσωματωμένο το ΡΑΦ. Το μοντέλο του κτηρίου που δημιουργείται σε

αυτή την περίπτωση προκύπτει από την διακριτοποίηση των πεδιλοδοκών και την

τοποθέτηση ελατηρίων Winkler σε κάθε έναν από τους κόμβους της θεμελίωσης. Επιπλέον

– ακολουθώντας μία εκ των βασικών παραδοχών που γίνονται στο πλαίσιο του ελέγχου – τα

στοιχεία της θεμελίωσης θεωρούνται ως απολύτως στερεά. Αυτό επιτυγχάνεται με την

τροφοδοσία των στοιχείων δοκού που προσομοιώνουν τις πεδιλοδοκούς με κατάλληλα

μεγάλες τιμές για τα χαρακτηριστικά των διατομών τους. Έτσι εξασφαλίζεται ότι μπορούν να

εφαρμοστούν τα κριτήρια αποκόλλησης και ανατροπής που παρουσιάστηκαν στις

προηγούμενες παραγράφους.

Σ Ε Ι Σ Μ Ι Κ Η Α Ν Α Τ Ρ Ο Π Η Κ Τ Η Ρ Ι Ω Ν -

Μ Η Γ Ρ Α Μ Μ Ι Κ Η Α Ν Α Λ Υ Σ Η Θ Ε Μ Ε Λ Ι Ω Σ Η Σ

Έλεγχος κτηρίων έναντι καθολικής ανατροπής

4. Μετά το πέρας του θαμιστικού αλγορίθμου και την αφαίρεση του τελικού αριθμού των

ελατηρίων που βρίσκονται υπό εφελκυσμό προκύπτουν σημεία (δηλ. κόμβοι που αρχικά

είχαν ελατήρια) που οριοθετούν την περιοχή αποκόλλησης. Έχοντας τον τελικό αριθμό και τη

θέση των κόμβων που βρίσκονται υπό ανασήκωση μπορεί να προσεγγιστεί η ευθεία που

οριοθετεί την αδρανή περιοχή και έτσι να υπολογιστεί το εμβαδόν της Ααδρ. Η σύγκριση του

Ααδρ με το συνολικό εμβαδόν της επιφάνειας έδρασης Αtot οδηγεί στο συμπέρασμα για το αν

το κτήριο κινδυνεύει ή όχι από καθολική ανατροπή για κάθε μία από 32 ελεγχόμενες

περιπτώσεις φόρτισης. Το τελικό συμπέρασμα ότι το κτήριο δεν κινδυνεύει έναντι καθολικής

ανατροπής προκύπτει μόνον όταν είναι ασφαλές και για τα 32 διανύσματα φόρτισης που

ελέγχονται.

Σ Ε Ι Σ Μ Ι Κ Η Α Ν Α Τ Ρ Ο Π Η Κ Τ Η Ρ Ι Ω Ν -

Μ Η Γ Ρ Α Μ Μ Ι Κ Η Α Ν Α Λ Υ Σ Η Θ Ε Μ Ε Λ Ι Ω Σ Η Σ

Αριθμητικό Παράδειγμα

4. Αριθμητικό Παράδειγμα

Προκειμένου να γίνει πιο κατανοητή η διαδικασία επίλυσης που περιγράφηκε στην

παράγραφο 2.3 αλλά και η αντίστοιχη διαδικασία ελέγχου έναντι ανατροπής (παράγραφος 3.3)

θα γίνει επίλυση του οκταώροφου κτηρίου με τα δεδομένα του Σχ. 6. Το αριθμητικό αυτό

παράδειγμα έχει δύο μέρη:

(α) Το πρώτο μέρος έχει αποκλειστικό στόχο την συνοπτική παρουσίαση της διαδικασίας και

των αποτελεσμάτων που προκύπτουν από επιλύσεις με θεώρηση της μονόπλευρης

συμπεριφοράς του εδάφους (παράγραφος 2.3),

(β) Το δεύτερο μέρος έχει ως στόχο την παρουσίαση της διαδικασίας ελέγχου έναντι ανατροπής

αξιοποιώντας τη δυνατότητα του ΡΑΦ για επιλύσεις με θεώρηση της μονόπλευρης

συμπεριφοράς του εδάφους (παράγραφος 3.3)

Σχήμα 6. Οκταώροφο κτήριο εδρασμένο σε ελαστικό υπόβαθρο με μονόπλευρη συμπεριφορά

 Πρώτο Μέρος: Παρουσίαση της θαμιστικής διαδικασίας προσδιορισμού της αδρανούς

περιοχής της θεμελίωσης

C1 C2 C3

C7 C8 C9

C4 C5 C6

5.5 5.5

5.0 5.0

B1X B2X

B3X B4X

B5X B6X

B1Y B2Y

B3Y B4Y

B5Y B6Y

0.16

FB1X FB2X

FB3X FB4X

FB5X FB6X

FB1Y FB2Y

FB3Y FB4Y

FB5Y FB6Y

0.55

0.65

1.2

1.65

FB1X-FB6X, FB1Υ-FB6Υ

C1-C4, C6-C9

0.55/0.55

0.60/0.60Ισόγειο

0.50/0.50 0.55/0.551ος -2ος

0.45/0.45 0.55/0.553ος - 4ος

0.40/0.40 0.45/0.455ος - 6ος

ΤΟΜΕΣ Α-Α, Β-Β

0.35/0.35 0.35/0.357ος

Ύψος ορόφου

4.0m (καθαρό)Ισόγειο

3.0m1ος -7ος

B1X,B2X,B5X

0.25/0.60

B3X,B4X

0.25/0.65

Ισόγειο

0.25/0.55 0.25/0.60

0.20/0.45 0.20/0.50

0.20/0.40 0.20/0.407ος

B6X,B1Y,B2Y

B5Y,B6Y B3Y,B4Y

1ος -2ος

3ος - 5ος

6ος

Συνεργαζόμενα πλάτη:

(α) Διατομές Τ:

(β) Διατομές Γ:

beff =8hfbw

beff =3hfbw

Φάσμα σχεδιασμού ΕΚ8-1:

(α) Ζώνη II

(β) Έδαφος Β

(γ) Σπουδαιότητα ΙΙΙ

(δ) Συντελεστής q=2.5

Απομειώσεις δυσκαμψιών: ΕΚ8-1 Δείκτης εδάφους: Ks=20000kN/m3

Σκυρόδεμα:Ε=29000000kN/m2ν=0.2,

eτ=0.55m

0.3

Σ Ε Ι Σ Μ Ι Κ Η Α Ν Α Τ Ρ Ο Π Η Κ Τ Η Ρ Ι Ω Ν -

Μ Η Γ Ρ Α Μ Μ Ι Κ Η Α Ν Α Λ Υ Σ Η Θ Ε Μ Ε Λ Ι Ω Σ Η Σ

Αριθμητικό Παράδειγμα

Το κτήριο επιλύθηκε για στατικά φορτία του συνδυασμού G+ψ2Q+(FX+0.3FY). Οι ισοδύναμες

στατικές δυνάμεις FX, 0.3FY έχουν τριγωνική κατανομή όπως προδιαγράφει ο ΕΚ8-1 και

υπολογίστηκαν από το φάσμα σχεδιασμού (βλ. Σχ. 6) με βάση τις ασύζευκτες τιμές των

ιδιοπεριόδων του κτηρίου κατά τις διευθύνσεις Χ και Υ. Η σχάρα πεδιλοδοκών διακριτοποιήθηκε

με πεπερασμένα στοιχεία μήκους 10cm. Για την επίλυση έγινε εφαρμογή του διαγράμματος ροής

του Σχ.4. Μετά από έναν μικρό αριθμό επαναλήψεων η μέθοδος επίλυσης συνέκλινε στη λύση

του προβλήματος και ανέδειξε την περιοχή της θεμελίωσης η οποία εμφανίζει αποκόλληση από

το έδαφος. Έτσι όλα τα μεγέθη έντασης και μετακίνησης τόσο της θεμελίωσης όσο και της

ανωδομής που εξάγονται από την τελική επίλυση αντιστοιχούν σε συνθήκες μονόπλευρης

στήριξης του κτηρίου επί του ελαστικού υποβάθρου. Στο Σχ. 7 παρουσιάζεται με κόκκινη

γραμμοσκίαση η οριοθέτηση της περιοχής έδρασης της θεμελίωσης που αποκολλάται από το

έδαφος σύμφωνα με την τελική επαναληπτική επίλυση του κτηρίου.

Σχήμα 7. Κάτοψη της θεμελίωσης πριν και μετά την επιβολή των οριζόντιων σεισμικών δυνάμεων

όσον αφορά στην αποκόλληση του κτηρίου από το ελαστικό υπόβαθρο.

Όπως φαίνεται στο Σχ.7 η περιοχή της αποκόλλησης οριοθετείται από μία λοξή (πράσινη)

γραμμή. Το ποσοστό της επιφάνειας έδρασης της σχάρας των πεδιλοδοκών που αποκολλάται

από το έδαφος είναι της τάξης του 20%(≈14.073 m2/71.28m2).

Στον πίνακα 1 παρουσιάζονται οι μετακινήσεις και οι εδαφικές τάσεις σε χαρακτηριστικά

σημεία της σχάρας των πεδιλοδοκών (Σχ. 7) από την πρώτη (με ελατήρια σε όλη την θεμελίωση)

και την τελευταία (με ελατήρια μόνο στο θλιβόμενο τμήμα της θεμελίωσης μετά τη σύγκλιση)

επίλυση.

Πίνακας 1. Μετακινήσεις και εδαφικές τάσεις λόγω της πρώτης και της τελευταίας-συγκλίνουσας επίλυσης

του κτηρίου

3.4

1.2

7.7

123

45 6

78 9

Σ Ε Ι Σ Μ Ι Κ Η Α Ν Α Τ Ρ Ο Π Η Κ Τ Η Ρ Ι Ω Ν -

Μ Η Γ Ρ Α Μ Μ Ι Κ Η Α Ν Α Λ Υ Σ Η Θ Ε Μ Ε Λ Ι Ω Σ Η Σ

Αριθμητικό Παράδειγμα

Από τη μελέτη του Πίνακα 1 είναι προφανής ο μηδενισμός των τάσεων του εδάφους στους

κόμβους που βρίσκονται στα σημεία αποκόλλησης (θετικές τιμές μετακινήσεων) αλλά και η

αύξηση των τιμών των εδαφικών μέγιστων θλιπτικών τάσεων (π.χ. κόμβος 9) όταν λαμβάνεται

υπόψη η μονόπλευρη έδραση.

 Δεύτερο Μέρος: Παρουσίαση διαδικασίας ελέγχου έναντι καθολικής ανατροπής

Θα πραγματοποιηθεί παραμετρική ανάλυση για να διαπιστωθεί το ποσοστό των οριζόντιων

σεισμικών φορτίων σχεδιασμού που προκαλούν οριακά ανατροπή. Για το σκοπό αυτό θα γίνει

αρχικά ανάλυση του κτηρίου για τα οριζόντια σεισμικά φορτία που αντιστοιχούν στο σεισμό

σχεδιασμού με βάση τα στατικά και τα αδρανειακά του χαρακτηριστικά όπως προδιαγράφει ο

ΕΝ1998-1 και το σχετικό φάσμα σχεδιασμού (Σχ. 6). Αφού προσδιοριστεί η κατάσταση του

κτηρίου όσον αφορά στο κριτήριο ανατροπής για τα φορτία αυτά, θα γίνουν νέες επιλύσεις

θεωρώντας συντελεστές επαύξησης/απομείωσης των σεισμικών φορτίων και θα εντοπιστούν οι

οριακές τιμές που προκαλούν ανατροπή. Για το λόγο αυτό τα σεισμικά φορτία σχεδιασμού

θεωρείται ότι αντιστοιχούν σε συντελεστή λ=1. Όλες οι επιλύσεις πραγματοποιούνται για τον

συνδυασμό: G+ψ2Q+λ·(FX+0.3FY).

Ανάλυση για τα σεισμικά φορτία σχεδιασμού (λ=1)

Τα αποτελέσματα των υπολογισμών για λ=1 παρουσιάζονται στο Σχ. 8. Παρατηρούμε ότι για το

συγκεκριμένο συντελεστή εμφανίζεται τμήμα της θεμελίωσης που έχει αποκολληθεί από το

έδαφος (γραμμοσκιασμένο με κόκκινη γραμμή). Το ποσοστό της αποκολλούμενης επιφάνειας

είναι της τάξης του 20%. Δεδομένου ότι το κριτήριο για ασφάλεια έναντι ανατροπής είναι το

εμβαδόν της αποκολλώμενης επιφάνειας να είναι μικρότερο του 50% της συνολικής επιφάνειας

έδρασης αυτό σημαίνει ότι το κτήριο για τα σεισμικά φορτία σχεδιασμού ναι μεν εμφανίζει

αποκόλληση της θεμελίωσης του αλλά είναι ασφαλές έναντι ανατροπής. Επομένως για να

προσδιοριστούν τα οριακά σεισμικά φορτία για τα οποία δεν εμφανίζεται αποκόλληση θα πρέπει

ΚΟΜΒΟΣ

uz (cm) σεδάφους (kN/m2) uz (cm) σεδάφους (kN/m2)

10.31 -61.53 0.68 0.00

2-0.41 81.12 -0.32 63.78

3-1.20 239.31 -1.21 241.82

40.028 -5.60 0.21 0.00

5-0.59 117.63 -0.56 111.92

6-1.29 257.07 -1.31 262.72

7-0.18 36.27 -0.15 29.94

8-0.82 164.15 -0.83 166.78

9-1.70 339.49 -1.75 350.56

10 -0.17 33.96 0.006 0.00

11 -0.13 26.15 0.008 0.00

12 -0.082 16.44 0.006 0.00

ΠΡΩΤΗ ΕΠΙΛΥΣΗ

ΤΕΛΕΥΤΑΙΑ ΕΠΙΛΥΣΗ

Σ Ε Ι Σ Μ Ι Κ Η Α Ν Α Τ Ρ Ο Π Η Κ Τ Η Ρ Ι Ω Ν -

Μ Η Γ Ρ Α Μ Μ Ι Κ Η Α Ν Α Λ Υ Σ Η Θ Ε Μ Ε Λ Ι Ω Σ Η Σ

Αριθμητικό Παράδειγμα

να λύσουμε για συντελεστή λ<1 ενώ για να βρούμε τα οριακά φορτία για τα οποία εμφανίζεται

κίνδυνος ανατροπής θα πρέπει να λύσουμε για λ>1.

Σχήμα 8. Αποτελέσματα της μη γραμμικής ανάλυσης για τα σεισμικά φορτία σχεδιασμού (λ=1)

Εκτίμηση συντελεστή λ για την οριακή ασφάλεια έναντι ανατροπής / συντελεστής ασφάλειας

Η ανάλυση του φορέα για τα σεισμικά φορτία σχεδιασμού (λ=1) ανέδειξε ότι το κριτήριο

ασφάλειας έναντι ανατροπής πληρούται και έτσι το κτήριο είναι ασφαλές έναντι καθολικής

ανατροπής. Ωστόσο είναι ιδιαίτερα ενδιαφέρον να εκτιμηθούν τα περιθώρια ασφάλειας που

υπάρχουν έναντι του οριακού σεισμικού φορτίου που μπορεί να προκαλέσει καθολική ανατροπή.

Με άλλα λόγια είναι χρήσιμος ο υπολογισμός ενός «λόγου εξάντλησης» CR ανάλογου με τους

αντίστοιχους λόγους που χρησιμοποιούνται σε άλλους ελέγχους έναντι διαφορετικών οριακών

καταστάσεων αστοχίας.

Για το λόγο αυτό αυξάνονται αρχικά τα σεισμικά φορτία κατά 15% και γίνεται μία επαναληπτική

ανάλυση λαμβάνοντας υπόψη τη μονόπλευρη συμπεριφορά του εδάφους. Έτσι η πρώτη

διερευνητική επίλυση γίνεται για το συνδυασμό: G+ψ2Q+1.15·(FX+0.3FY). Τα αποτελέσματα της

επαναληπτικής αυτής ανάλυσης παρουσιάζονται στο Σχ. 9.

3.15

1.24

8.25

123

45 6

78 9

Σ Ε Ι Σ Μ Ι Κ Η Α Ν Α Τ Ρ Ο Π Η Κ Τ Η Ρ Ι Ω Ν -

Μ Η Γ Ρ Α Μ Μ Ι Κ Η Α Ν Α Λ Υ Σ Η Θ Ε Μ Ε Λ Ι Ω Σ Η Σ

Αριθμητικό Παράδειγμα

Σχήμα 9. Αποτελέσματα της μη γραμμικής ανάλυσης για τα σεισμικά φορτία σχεδιασμού (λ=1.15)

Το ποσοστό της επιφάνειας έδρασης που αποκολλάται είναι της τάξης του 30% έναντι του 20%

που ήταν για τα σεισμικά φορτία σχεδιασμού (λ=1, Σχ. 8). Στο Σχ. 9 παρουσιάζεται επίσης για

λόγους σύγκρισης η οριακή γραμμή αποκόλλησης για τα φορτία του σεισμού σχεδιασμού.

Η επόμενη ανάλυση γίνεται για συντελεστή λ=1.25, δηλ. με σεισμικά φορτία 25% μεγαλύτερα

από τα σεισμικά φορτία σχεδιασμού. Τα σχετικά αποτελέσματα παρουσιάζονται στο Σχ. 10.

Σχήμα 10. Αποτελέσματα μη γραμμικής ανάλυσης για τα σεισμικά φορτία

σχεδιασμού (λ=1.25)

Το ποσοστό της επιφάνειας έδρασης που αποκολλάται είναι της τάξης του 35% έναντι του 20%

που ήταν για τα σεισμικά φορτία σχεδιασμού (λ=1, Σχ. 8). Στο Σχ. 10 παρουσιάζεται επίσης για

4.6

2.7

123

45 6

78 9

0.8 Όριο λ=1

5.45

3.6

123

45 6

78 9

1.8

λ=1 λ=1.15

Σ Ε Ι Σ Μ Ι Κ Η Α Ν Α Τ Ρ Ο Π Η Κ Τ Η Ρ Ι Ω Ν -

Μ Η Γ Ρ Α Μ Μ Ι Κ Η Α Ν Α Λ Υ Σ Η Θ Ε Μ Ε Λ Ι Ω Σ Η Σ

Αριθμητικό Παράδειγμα

λόγους σύγκρισης η οριακή γραμμή αποκόλλησης για τα φορτία με συντελεστή λ=1 και λ=1.15.

Παρατηρούμε ότι η αύξηση του ποσοστού του εμβαδού της αποκολλούμενης επιφάνειας σε

σχέση με την τιμή του πολλαπλασιαστή λ είναι περίπου γραμμική. Έτσι μπορεί να γίνει η

εκτίμηση ότι για λ=1.5 το ποσοστό της αποκολλούμενης επιφάνειας είναι περίπου 50%. Αυτό

πράγματι τεκμηριώνεται από την επαναληπτική ανάλυση για το συνδυασμό

G+ψ2Q+1.5·(FX+0.3FY) τα αποτελέσματα της οποίας δίνονται στο Σχ. 11.

Σχήμα 11. Αποτελέσματα μη γραμμικής ανάλυσης για τα σεισμικά φορτία σχεδιασμού (λ=1.5)

Επομένως ο «λόγος εξάντλησης» της επάρκειας έναντι καθολικής ανατροπής είναι

CRανατροπή=λσχεδιασμού/λοριακό=1/1.5=0.67.

7.35

5.6

123

45 6

78 9

3.8

λ=1 λ=1.15

λ=1.25

λ=1.35

Σ Ε Ι Σ Μ Ι Κ Η Α Ν Α Τ Ρ Ο Π Η Κ Τ Η Ρ Ι Ω Ν -

Μ Η Γ Ρ Α Μ Μ Ι Κ Η Α Ν Α Λ Υ Σ Η Θ Ε Μ Ε Λ Ι Ω Σ Η Σ

Βιβλιογραφία

5. Βιβλιογραφία

[1] Eurocode 2: «Design of Concrete Structures», Part 1, General Rules and Rules for Buildings,

European Committee for Standardization, Brussels, Belgium, 1992.

[2] Eurocode 8: «Design of structures for earthquake resistance - Part 1»: General rules, seismic

actions and rules for buildings. European Committee for Standardization, Brussels, Belgium,

2003.

[3] Eurocode 8: «Design of structures for earthquake resistance - Part 5»: Foundations, retaining

structures and geotechnical Aspects. European Committee for Standardization, Brussels,

Belgium, 2003.

[4] G. Gazetas and M. Apostolou : Nonlinear Soil–Structure Interaction: Foundation Uplifting

and Soil Yielding. Proceedings Third UJNR Workshop on Soil-Structure Interaction, March

2004, Menlo Park, California